Gaidīšanas paradoksi un paradoksu gaidīšana

Vladimirs Baranovs

Londonas Fondu biržas dibinātājs, sers Tomass Grešams (Thomas Grasham, 1519 – 1579), finansu jomā ir kulta figūra, slavenā paradoksa „Labu naudu vienmēr izspiež sliktā” autors, kurš acīmredzot pirmais saprata, ka matemātika biržas operāciju analīzē spēlē svarīgu lomu. Savā mantojumā viņš atstāja koledžas izveidošanas plānu, kurā matemātikai tika atvēlēta vadošā mācību disciplīnas loma. Ir pieņemts uzskatīt, ka tieši šīs koledžas izveidošana bija galvenais iemesls, lai izveidotos Londonas Karaliskā sabiedrība – Britu Zinātņu akadēmija.

« Un pieredze, grūto kļūdu dēls ... »

Mūsdienu biržas darbiniekos matemātika izraisa gandrīz vai reliģiozas godināšanas jūtas. Un tas arī ir saprotams. Tirgus konjunktūras matemātiskās analīzes rezultāti iegūst biedējošas zinātniska veidola formas. Tikai jau to izskats vien treideros izkliedē jebkādas šaubas par rezultātiem, kuru ir svētījusi „zinātņu karaliene”.

Tomēr šaubīties ir lietderīgi. Ceļš uz izpratni iet caur izzināšanu, kura rodas no šaubām. Un par šaubu avotu bieži kļūst paradokss, kurš ar smagiem pieredzes aizspriedumiem piekrauto domāšanas ešelonu priekšā uzspridzina sliedes. Ne velti paradokss, kā veids, kādā partizāni izzina patiesību, zinātnes aprindās ir apveltīts ar tādu cieņu.

Apskatīsim pāris paradoksus, kurus apvieno gaidīšanas laika problēmas. Ir labi zināms, ka, lai arī kur Jums nevajadzētu braukt, autobusi un tramvaji iet tieši pretējos virzienos. Ar deitreidingu ir saistīti tieši tādi pat bēdīgie novērojumi. Pieņemsim, ka Jūs, sekojot fundamentālajiem un tehniskās analīzes noteikumiem, esat atvēruši pozīciju. Varat nešaubīties, ka vairumā gadījumu tirgus ies pretēji Jūsu pozīcijai un rosinās Jūs pēc iespējas ātrāk to likvidēt.

Steidzoties savās darīšanās un taupot laiku, kurš pēc būtības ir tā pati nauda, mēs bieži aizejam prom no autobusa pieturas līdzi aiznesot izjūtas par to, cik satiksme ir paradoksāla. Bet paši pacietīgākie no mums, pašiem negribot aizdomājoties par varbūtības teoriju, turpina gaidīt un domāt par to, vai tiešām šajā „cēlajā” zinātnē ne viss ir „OK”?

Taču nē, ar teoriju viss ir kārtībā. Tomēr domas par laiku, kurš ir patērēts gaidīšanai, protams, ir ienākušas nevienā vien „mācītā” galvā. Un ne tikai sakarā ar autobusu kustības sarakstu vien.

Pagājušā gadsimta sākumā A. Erlangs (Agner Kraup Erlang) izpētīja izsaukuma gaidīšanas laiku telefona stacijās. Trīsdesmitajos gados V. Fellers (Vilim Feller) ar metodes, kura apraksta „vairošanās procesa” bojāeju, palīdzību izpētīja visa veida rindās pavadīto gaidīšanas laika ilgumu. Šis modelis izrādījās ārkārtīgi ražīgs. Būtībā tas deva impulsu varbūtības disciplīnas izstrādāšanai, kura ieguva nosaukumu „Masveida apkalpošanas teorija”. Tieši šīs lietišķās zinātnes ietvaros šis paradokss, kurš ir saistīts ar maršruta transporta pārsteidzošo uzvedību, tad arī ieguva racionālu izskaidrojumu.

Ir loģiski iedomāties, ka autobusa pienākšanas laiks pieturā, attiecībā uz kuru Jūs sakoncentrējiet savu gaidīšanas pozīciju, pakļaujas sava veida blīvuma funkcijai: te autobusi iet viens aiz otra, savukārt te iestājas pauze. Ir jāņem vērā kāds apstāklis. Uz pieturu Jūs atnākat pavisam nejaušā laika momentā un, tātad, Jūs drīzāk gaidīsiet ilgāk, nekā mazāk. Jebkurā gadījumā Jūsu iespējas iekļūt intervālā, kad autobusi iet viens aiz otra, ir mazākas, nekā iekļūt intervālā, kad viņi nenāk, nosacīti, ilgu laiku. Piezīmēsim, ka no tajā pat virzienā braucošajiem autobusiem, Jūs pamanāt tikai vienu autobusu – tikai to, ar kuru Jūs pametīsiet savu novērošanas punktu. Tomēr iespējamība, ka tajā laikā, kamēr Jūs gaidiet Jums nepieciešamajā virzienā ejošo autobusu, pretējā virzienā aizbrauks divi vai trīs autobusi, ir visai reāla. Tāpēc, principā, ir iespējamas šādas notikumu attīstības shēmas:

1)      Jūsu autobuss atnāca ātri, tas ir, agrāk, nekā Jūsu prātojumi sakoncentrējās uz varbūtības teoriju;

2)      Autobuss, Jums vajadzīgajā virzienā, nenāca ilgi, bet tajā pat laikā kustības pretējā virzienā arī nebija;

3)      Vajadzīgajā virzienā autobusa ilgi nebija, bet uz otru pusi transports brauca regulāri.

Pirmais un otrais gadījums vienkārši „izkrīt” no novērošanas prakses, bet savukārt pēdējais pilnībā ir iespējams un vienmēr arī tiek pamanīts. Citiem vārdiem sakot, paradoksu izskaidro novērošanas psiholoģija. Neatkarīgo novērojumu pārliecināšanas spēja šeit ir tieši tāda pat veida, kā optiskajās ilūzijās, kad Saules disks pie horizonta šķiet lielāks, nekā zenītā. Un attiecīgi tāpēc tikt galā ar psiholoģiskas izcelsmes paradoksu ir nosacīti viegli. Tā, piemēram, gadījumā, ja municipālā vara varētu sev atļauties maršrutā izlaist daudzus autobusus, kas savukārt varētu vadītājiem ļaut ilgāk stāvēt autobusa pieturās un gaidīt pasažieru ierašanos, tad šāda veida šeit apskatītais paradokss vienkārši izzustu. Starp citu, augstceltnēs, liftu „pretējā virziena kustības” problēma praktiski nav pamanāma tikai tāpēc, ka pasažieru pienākšanas pie lifta laiks ir samērojams ar viņa stāvēšanas stāvā laiku.

Tādējādi transporta paradokss savu aktualitāti varētu zaudēt, ja tiktu samazināts vidējais laiks, kuru pasažieri patērē gaidot transportu (autobusu, lidmašīnu, liftu) – piemēram, palielinot laiku, kuru transporta līdzeklis pavada pieturās gaidot pasažierus. Patiesībā liftu vēl varētu aizturēt, lai pagaidītu cilvēkus, kuri drīz pienāks, bet, lai mūsdienīgas lielpilsētas apstākļos autobusa vadītājs pieturās gaidītu pasažierus – tas, protams, ir no teorētisko pieņēmumu jomas.

Lai arī vadītāju principā var palūgt pagaidīt kaut vai dažas sekundes, tad tirgu pat teorētiski nevar piespiest vai pierunāt kaut kādā jomā piekāpties treidera priekšā. „Tirgus nevienam nav parādā un viņa nodomi nav ļauni” – tā mēdz uzsvērt profesionāļi. Tomēr treideru iesācēju personīgā pieredze, pretēji skaidrajam saprātam, liecina it kā par tirgus uzvedības reizēm ļaunajiem nodomiem. Pie tam, daži tādās reizēs atsaucas uz savu pieredzi par veiksmīgi un neveiksmīgi atvērto pozīciju savstarpējo attiecību, kas ar pārliecinošu pārsvaru norāda tieši uz neveiksmīgajām.

«Un ģēnijs – paradoksu draugs ...»

Rodas kaut kāda veida statistikas paradokss. Paradokss – tas ir kaut kas tāds, kas ir pretrunā ar skaidro saprātu. Lai arī būtu tā, ka treideris pozīcijas būtu atvēris tā vienkārši paļaujoties uz veiksmi. Bet vadoties no skaidrā saprāta, arī pat šādas primitīvas stratēģijas rezultātam vajadzētu sistemātiski novest pie tā, ka ilgā laika posmā vinnests kompensē zaudējumus, bet gala rezultāts būtu ļoti tuvs nullei. Vai ne tā? Tomēr tā nav! „vadoties no brokeru statistikas ir redzams, ka pēc gada 90 no 100 treideriem no biržas aizies” tā, sausi, paziņo viens no treidinga teorētiķiem. Un, lai saliktu visus punktus uz i, tūlīt pat piebilst: „Nogrimuši dzelmē un nespējot atgūties no trieciena, viņi atkāpsies. Viņi centīsies biržas spēles aizmirst kā murgainu sapni.” [1]

Šī doma mums ir interesanta ar to, ka profesionāļi lielākās cilvēku daļas nespēju pielāgoties tirgum uztver kā pašu par sevi saprotamu lietu, tas ir, viņi šajā lietu stāvoklī nesaskata nekādu paradoksu. Ir pieņemts uzskatīt, ka treideri vairumā gadījumu savus lēmumus balsta nebūt ne uz stohastikas principu (piemēram, monētas mešana). Lēmumu pieņemšanai viņi var izmantot pieredzi, pielietot tirgus fundamentālo un tehnisko analīzi, ņemt palīgā informācijas tehnoloģijas, un visbeidzot, arī skaidro saprātu. Tomēr arī saskaņā ar „zinātni” atvērtās pozīcijas bieži nākas lielā steigā aizvērt, un pat pieredzējušo treideru neveiksmīgo ieeju statistika liek aizdomāties par kaut kādu nebūt paradoksu. Tieši par kādu?

Nu taču vēl joprojām par to pašu – par pretējās kustības paradoksu. Jo tad, kad Jūs, cerībā vinnēt, atverat kaut kādu pozīciju, arī birža, figurāli izsakoties, „atver pozīciju”. Pret Jums. Patiesībā viņa vienmēr spēlē pret Jums. Un ne tikai tāpēc, ka vienmēr pastāv tās vai citas dabas izslīdēšana (slippage). Vēl pastāv arī tāda parādība, kā netrazivitāte, kura arī darbojas pretēji Jūsu interesēm.

Par izslīdēšanu raksta visās treidinga rokasgrāmatās.

Tagad pamēģināsim tikt skaidrībā ar netranzivitātes paradoksu un to, kā šis paradokss ietekmē treidera labklājību. Tomēr sākumā noskaidrosim kas tad slēpjas aiz šī nevisai labskanīgā vārda „netranzivitāte”. Vairums cilvēku vārda saknē „tranzit” pamanīs analoģiju ar transporta problēmu, par kuru runa gāja iepriekš, un uzminēs, ka netranzivitāte – tas ir kaut kāds kustības raksturojums un, pie tam, ar negatīvu nozīmi. Tas tā arī ir: vienā virzienā nauda plūst biežāk, nekā otrā. Un Jūs droši vien jau uzminējāt, ka tieši pateicoties netranzivitātei, tā biežāk iet uz biržas, nekā uz treidera pusi. Un ja situācijā ar autobusiem šāda tipa kustība patiesībā ir tikai ilūzija, tad biržā, kā tas ir zināms, nemēdz būt nekādu ilūziju, jo tur tās saskaņā ar definējumu nevar būt. Bet kur tad slēpjas paradoksa būtība?

Dabīgi, matemātikā! Mūsdienu lietišķās matemātikas „cilvēks - orķestris” Donalds E. Knuts [2] netranzivitātes paradoksu izspēlē ar tā saucamā „Penija spēles” („Penney-Ante”) palīdzību. Voltera Pennija 1969. gadā izgudrotās spēles [3] jēga ir ļoti vienkārša: Alise un Bobs pēc kārtas met monētu tik ilgi, kamēr neizveidojas secība „cipars, cipars, ērglis” vai „cipars, ērglis, ērglis” (saīsinājumā attiecīgi CCĒ un CĒĒ). Spēlē, ja pirmā parādās secība CCĒ, uzvar Alise, bet ja pirmā parādās secība CĒĒ, tad uzvar Bobs.

Veiksminiece Alise un nabaga Bobs

Ja tiek izmantota „pareizā” monēta (Knuts citētajā pirmavotā labprātīgi piemin ([2], 438. lpp), ka, piemēram, amerikāņu penijs nebūt nav „pareizā monēta”. Kā raksta klasiķis: „Spēlējot „Monētas mešanu” tas pamanāmi biežāk (9 reizes no 10!) krīt uz vienu pusi: masas sadalījums tajā ir tāds, ka „Linkolna galva pievelk””. – Autora piezīme), tad „Penija spēle” noteikti izskatās godīga. Un tas pilnībā ir loģiski: CCĒ un CĒĒ secībai, ja tos apskata atsevišķi, piemīt vienādas varbūtības īpašības. Tomēr tās apskatot kopumā tiek atklāta kaut kāda visai interesanta šo secību savstarpējā mijiedarbība, kura tiek dēvēta par netranzivitāti.

Izlaižot diskrētās matemātikas korifeju skaidrojumu sīkumus pāriesim tieši pie rezultātiem, kuru būtība ir tāda, ka iepriekš pieminētajos CCĒ un CĒĒ noteikumos (vai paraugos A un B) Alise (NB: stohastikas spēlē!) vinnēs apmēram divas reizes vairāk, nekā Bobs.

Svarīgi ir tas, ka šos paraugus var palielināt, tas ir, ņemt „ciparu” un „ērgļu” virknējumu vairāk, kā 3 simbolus, un tajā pat laikā ar pareizi izvēlētas stratēģijas palīdzību saglabāt dominanti vienā no pusēm.

Lai, piemēram, Bobs piedāvā paraugu CĒCC. Tad, ja Alise viņam atbild ar CCĒC, viņa panāks uzvaru ar attiecību 3/2. Šāda „Penija spēles” īpatnība kopējā gadījumā ļauj noformulēt sava veida noteikumu, kurš vienai no pusēm ļauj panākt vairāk, nekā pavisam nejauša uzvara, kad tiek izvēlēta atbildes uz izaicinājumu stratēģija. Matemātika šajā sakarā saka, ka attiecība starp paraugiem ir netransitīva.

Pieņemsim, ka tagad Bobs, kuru viltīgā Alise jau ir apspēlējusi „Penija spēlē”, ir nodomājis pamēģināt laimi valūtas spekulācijās. Treideru kursos viņš ir apguvis, ka birža un viņam jau pazīstamā spēle ar monētas mešanu, arī ir principiāli diskrēta.

Tas nozīmē, ka Bobs, atverot pozīciju, netieši paredz trenda tālāko attīstību viņam vēlamajā virzienā kā ĒĒĒ... vai CCC... veida (vispārējā gadījumā bezgalīgu) secību. Tomēr neatkarīgi no tā, kādā virzienā nabadziņš ir atvēris pozīciju, piemēram, secību CCCCC viņam nāksies gaidīt divas reizes ilgāk, nekā secību CCCCĒ vai ĒCCCC.

Monotonās secības attiecas uz tā saucamajām pašsavienojamajām secībām. Attiecībā uz viņām ir zināms svarīgais rezultāts, kuru pirmo reizi 1966. gadā atklāja padomju matemātiķis A.D. Solovjovs [4] un to būtība ir tāda, ka nepašsavienojošās secības parādās agrāk, nekā pašsavienojošās secības.

Mūsu gadījumā tirgus tiek apskatīts kā sociālās dabas daļa, bet sociālajās mijiedarbībās daudzi procesi, sakarā ar aizturi laikā, noris savādāk. Sistemātiskā aizture (atmiņa) rada netranzivitāti, bet tā, savukārt, spēlētāju statiski identiskās stratēģijas pārvērš jau sākotnēji nevienlīdzīgās. Kā, piemēram, „Penija spēlē”.

Apskatīsim hipotētisko mehānismu ar kura palīdzību birža, kura „izmanto” nejaušību stratēģiju, var sistemātiski „apspēlēt” dīlerus, kuri arī pieturās pie šīs stratēģijas, viņus piespiežot aizvērt lielāko daļu pozīciju vēl pirms ir sasniegts bezzaudējumu punkts.

Pieņemsim, ka Bobs sev izvirzīja mērķi „aiziet pa nullēm”. Tāpēc FOREX viņam vajag „izķert” apmēram 4 līdz 8 punktus, lai sasniegtu break even point – pozīcijas bezzaudējumu aizvēršanas punktu. Skaidrības labad pieņemsim, ka Bobs pakāpeniski atver pozīcijas, to darot pavisam nejaušā laika brīdī un savas pozīcijas atvēršanas virzienu nosaka ar monētas mešanas palīdzību. Un katru reizi viņš mēģināja „izķert” tirgus kustības 5 punktus virzienā uz nejaušā veidā atvērto pozīciju.

Ja papildus pie visa tā vēl pieņemt arī nosacītā pieklusuma periodu, kad tirgus brauna kustībām ir raksturīgs mazs volatīlums, tad ar visiem šiem „sasprindzinājumiem” arī tirgus kustības modelis aprobežosies ar monētas mešanu: Ērglis – kustība vienu punktu uz augšu, cipars – vienu punktu uz leju.

Šāda veida formulējums ir plaši pazīstams klasiskajā varbūtības teorijā. Tai pat nosaukums ir visai piemērots – „spēlētāja izputināšanas uzdevums”. Tajās hipotēzēs, kuras tika aprakstītas agrāk, rezultāts ir labi zināms. Ja bobs take profit veiks tad, kad būs sasniegti 5 punkti virzienā uz viņa atvērto pozīciju, un likvidēs pozīciju gadījumā, ja tirgus paies 5 punktus pretējā virzienā, tad viens no notikumiem tiks sasniegts vidēji ar 25 diskrētā procesa kotēšanas izmaiņu tikiem (soļiem).

Ja viss patiešām notiktu tā, kā tas ir aprakstīts varbūtības teorijas mācību grāmatās, tad ilgstošā ieeju tirgū sērijā patiešām „aizietu pa nullēm”, jo abi iespējamie notikumi aprakstītajos pareģojumos ir vienlīdz iespējami un tiek sasniegti diezgan ātri.

Tomēr treidera acumirklīga (real time) reakcija uz kotējuma procesa izmaiņām vienkārši nav iespējama tieši tāpat, kā nav iespējama momentāna treidera komandu veikt darījumu izpilde. Cilvēka psihofizioloģiskās iespējas un biržas tehniskās iespējas ir treidera komandu par pozīciju atvēršanu un aizvēršanu ātruma ierobežotāji, tas nozīmē, ka reālajā biržu praksē aizkavēšanās laikā nav izbēgama.

Tālāk mums ir jāpieņem, ka veiksminiece Alise, kura „Penija spēlē” ir uzkrājusi pozitīvu pieredzi, tagad strādā biržā. Nešaubīgi, ka viņa zina, ka aizkavēšanās ir ekvivalenta ar pāreju no tirgus kustības modeļa, kas ir balstīts uz vienas monētas mešanu, uz modeli ar divām nevienādām monētām.

Pievērsīsim uzmanību šim, turpmākajiem secinājumiem tik būtiskajam, momentam. Vairumā pielikumu tas fakts, ka „aizkavēšanās destabilizē”, ir aksioma. Mums apskatāmajā gadījumā svarīgi ir tas, ka neizbēgamās aizkavēšanās destabilizē tā saucamo „mehānistisko treidingu”. Precīzāk, tā abstrakto modeli, kurš ir balstīts uz monētas mešanas hipotēzi.

Abstraktais modelis – modelis prātam vai skatītājiem?

Kas tad ir abstraktais modelis? Tikai 25 monētas metieni un mēs jau esam pie finiša. Tomēr aizkavēšanās ... . Aizkavēšanās sev līdzi nes modeli jau ar divām monētām. Šis modelis matemātiķiem arī ir labi pazīstams.

Nesāksim pārstāstīt teoriju, bet tikai pieminēsim, ka modelī ar divām monētām, lai sasniegtu kustību par 5 punktiem uz vienu vai otru pusi, jau būs nepieciešami nevis 25 soļi, kā tas ir modelī ar vienu modeli, bet gan jau daudz vairāk. Bet ātra pieauguma trūkums mums vajadzīgajā virzienā, vai arī pretējā virzienā, kā likums, beidzas ar tās likvidāciju.

Jo lielāka ir aizkavēšanās, jo lēnāk attīstās brauna process, jo retāk tajā parādās elitārās (ātri pieaugošās vajadzīgajā virzienā) secības. Psiholoģiski pat pieredzējušie treideri nevienmēr ir gatavi biržas, kā ir pieņemts teikt, „kontrintuitīvajai” uzvedībai, toties Alise, kura ir rūpīgi izstudējusi Kanta darbus, nešaubīgi, ka to labi zina. No šejienes tad arī izriet pilnībā izskaidrojams (NB: psiholoģiski!) fakts, ka treideri, saskaroties ar gaidīšanas paradoksu, biežāk pozīcijas aizver, nekā tās atstāj atvērtas, lai tās attīstītos tālāk.

Iepriekš pieminētais piemērs patiesībā ir nedaudz sadomāts. Eksistē arī daudz reālajai dzīvei tuvāki veidi stratēģijas efektivitātes novērtēšanai.

Cenu kustības fondu biržā brauna raksturu un tā sakaru ar treidera stratēģiju, kurš izpaužas caur martingeilu, pirmais 1900. gadā noteica Lui Bašeljē (lois Bachelier). Ar viņa doktora disertāciju, kura bija veltīta toreiz tik jaunajai tēmai, tā sauktajām nevainīgajām spēlēm, Sorbonas profesori skaidrībā netika. Pats darbs pēc tam tika pilnībā aizmirsts, bet Bašeljē prioritāte tika atjaunota tikai slavenā amerikāņu matemātiķa, Nobela prēmijas laureāta ekonomikā Pola A. Samuelsona (Paul A. Samuelson) darbos. Tas nozīmē, ka biržas paradoksa mehānisms tika uzskatīts par saprotamu jau vairāk nekā pirms simts gadiem. Ko tad mums praktiskajā plānā dod tik ilga vēsture?

Un nemaz ne tik maz. Un konkrēti, tiek izkliedētas šaubas attiecībā par stratēģijas, tā saucamā mehāniskā treidinga, efektivitāti: uzmeti monētu, atvēri, paturēji, aizvēri, no jauna uzmeti, utt. Lieta ir tāda, ka birža realizē Alises stratēģiju. Bet tāpēc, ka biržas pusē „spēlē” asākie prāti (lai gan, iespējams, arī ne bez tā), vienkārši treideri, tādi kā Bobs, ir ļoti ierobežoti stratēģiju izvēlē, un viņa izvēle vienmēr ir – monotonās pašsavienojamās secības. Diezgan ilgos laika periodos šāda treidera Boba stratēģija tiek sakauta ar jebkuru Alises stratēģiju. Alise panākumus gūst pateicoties tam, ka Bobs ir spiests ilgāk gaidīt veiksmīgas kombinācijas.

Un, lūk, iznāk tā, ka treidera stratēģija patiesi veiksmīga nevar būt tikai un vienīgi nejauša, jo tai neizbēgami ir jāpiemīt determinētam manevram laikā. Citiem vārdiem sakot, ar gadījuma skaitļu bināro ģeneratoru biržu neuzveikt.

Vispār, tīra psiholoģija: tas, kas principiāli ir nevienmērīgi (piemēram, birža), skaidram saprātam tieši pretēji, ir vienmērīgi, un, savukārt otrādi, principā vienmērīgo (piemēram, autobusu kustība), balstoties uz tiem pašiem pamatiem, gribas pasludināt par nevienmērīgu!

Tagad skaidrāks top aforisms, kurš tiek piedēvēts Albertam Einšteinam: „Skaidrais saprāts – tā ir aizspriedumu summa, kuri tiek iegūti līdz 18 gadu vecumam”. Patiešām, ne velti sporta treneri uzskata, ka ar 18 gadus vecu spēlētāju jau viss ir skaidrs: ja šī persona ir vairāk „bez galvas” – spēlēs, bet ja jau ir kaut kur paspējusi iegūt skaidro saprātu, tad – sporta karjera, ardievu. Bet ko darīt? Gaidīšanas paradokss.

Literatūra:

1.      A. Edlers. Kā spēlēt un vinnēt biržā. - М.: КронПресс, 1996, lpp. 46.

2.      R. Grehems, D. Knuts, O. Pataškins Konkrētā matemātika. Pamatinformātika - М.: Мир, 1998. – 448 с.

3.      W. Penny Problem-95: Penney-Ante // Journal of Recreational Mathematics, 1974, № 7, p. 321.

4.      A. D. Slovarjovs Viena kombinatorā identitāte un tās pielietošana uzdevumā par pirmo retā notikuma pienākšanu // Iespējamības teorija un tās pielietošana, 1966, № 11, с. 313-320.